新年的不定积分

JJchen老师的新年积分:$$\int \frac{4035(4\sin x\cos x+2x+3+x^2)}{(2016\cos x+2017\sin x+2018x\cos x+2019x\sin x)^2}dx$$


这个问题难度略大,JJchen老师给出了提示:

(1)$\int \frac{\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+C$

(2)$\int \frac{x^2}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx=\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+C$

(3)$\int \frac{(1-x^4)\sin{2x}+2x\cos{2x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx=\frac{\sin^2{x}+x^2\cos^2{x}}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}+C$

(4)$\int \frac{-3(x^6+1)\sin^2{x}\cos^2{x}+3x^2(1-3\sin^2{x}\cos^2{x})}{(\cos^3{x}+x^3\sin^3{x})^2}dx=\frac{x^3\cos^3{x}-\sin^3{x}}{\cos^3{x}+x^3\sin^3{x}}+C$

(5)$\int \frac{x^2+2x+3+4\sin{x}\cos{x}}{(\cos{x}+2\sin{x}+3x\cos{x}+4x\sin{x})^2}dx=\frac{(x-1)\sin{x}-2\cos{x}}{(12x+6)\sin{x}+(9x+3)\cos{x}}+C$


前两个积分的破解方法JJchen老师已经给出:

(1)注意到$d(\frac{1}{\cos{x}+x\sin{x}})=-\frac{x\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}$,构造一波得到$$\begin{aligned}\int \frac{\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx&=\int \frac{\cos{x}(\cos{x}+x\sin{x})-x\cos{x}\sin{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx-\int \frac{x\sin{x}\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx+\int \sin{x}d(\frac{1}{\cos{x}+x\sin{x}})\\&=\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx+\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}-\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx\\&=\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}+C\end{aligned}$$

(2)我们同样构造与$x\cos{x}$有关的项得到$$\begin{aligned}\int \frac{x^2}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx&=\int \frac{x^2\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx+\int \frac{x^2\sin^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\int x\cos{x}d(\frac{1}{\cos{x}+x\sin{x}})+\int \frac{x^2\sin^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\frac{x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+\int \frac{\cos{x}-x\sin{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}\frac{x^2\sin^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\frac{x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+\int\frac{\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\frac{x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}\end{aligned}$$

以下为Chty_syq的独立研究成果

(3)注意到$d(\frac{1}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}})=\frac{2(1-x^2)\sin{x}\cos{x}-2x\sin^2{x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}$,构造相关项得到$$\begin{aligned}\int \frac{(1-x^4)\sin{2x}+2x\cos{2x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx&=\int\frac{2(1-x^2)(1+x^2)\sin{x}\cos{x}+2x-4x\sin^2{x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\int\frac{(1+x^2)[2(1-x^2)\sin{x}\cos{x}-2x\sin^2{x}]}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx+\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\int (1+x^2)d(\frac{1}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}})+\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\frac{1+x^2}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}-\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx+\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\frac{1+x^2}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}+C\end{aligned}$$

注意到$\frac{1+x^2}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}-1=\frac{\sin^2{x}+x^2\cos^2{x}}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}$,所以该解与题中解等价

做到这里方法已经很明显了,我们求出分母的微分,然后想办法构造分子,利用分部积分把后面的积分抵消掉

后面的构造与计算比较繁琐,博主要赶论文就不继续了,直接给出maple软件的计算结果

index.pdf (下载11)

 

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