可逆条件的推广

习题一   已知$A,B,C,D$为同阶方阵,且$A,C$可换,证明:$\begin{vmatrix}A &B \\ C &D \end{vmatrix}=|AD-CB|$

证明:(1)若方阵$A$可逆

$$\begin{vmatrix}A &B \\ C &D \end{vmatrix}\overset{R_2-(A^{-1}C)R_1}{=} \begin{vmatrix}A &B \\ 0 &D-A^{-1}CB \end{vmatrix}=|AD-CB|$$

其中$C-A^{-1}CA=C-A^{-1}AC=0$

(2)若方阵$A$不可逆

$A$不可逆时,总有充分大的$t$使得$|A+tE|\leq 0$,此时$(A+tE)$可逆且$(A+tE)$与$C$可换

直接使用(1)的结论得到

$$\begin{vmatrix}A+tE &B \\ C &D \end{vmatrix}=|(A+tE)D-CB|$$

对一切充分大的$t$两边的多项式恒等,所以对应系数相等

取$t=0$得到两边多项式的常数项相等,即$\begin{vmatrix}A &B \\ C &D \end{vmatrix}=|AD-CB|$


注:(1)$f(t)=\begin{vmatrix}A+tE &B \\ C &D \end{vmatrix}$为$n$次多项式,最多只有$n$个实根

(2)若$n$次多项式$f(t)$最大实根为$c$,当$t>c$时$f(t)\neq 0$,即对充分大的$t$总有$f(t)\neq 0$

(3)多项式$f(t)=t^n+a_1 t^{n-1}\cdots a_{n-1}t+a_n$,取$t=0$得到常数项$f(0)=a_ n$


习题二   已知$A,B$为$n$阶方阵,且$A\sim B$(相似),证明:$A^{*}\sim B^{*}$

证明:(1)若$A,B$可逆

由于$A\sim B$,所以$|A|=|B|$,且存在可逆矩阵$P$使得$B=P^{-1}AP$

$$B^{*}=|B|B^{-1}=|B|P^{-1}AP=|B|P^{-1}\frac{A^{*}}{|A|}P=P^{-1}A^{*}P$$

故$A^{*}\sim B^{*}$

(2)若$A,B$不可逆

由于$A\sim B$,所以$|A|=|B|$,且存在可逆矩阵$P$使得$B=P^{-1}AP$

总有充分大的$t$使得$(A+tE),(B+tE)$可逆,此时有$B+tE=P^{-1}(A+tE)P$

直接使用(1)的结论得到$$(B+tE)^{*}=(A+tE)^{*}$$

上式对充分大的$t$恒成立,故两边矩阵恒等,矩阵中的每个元素都是关于$t$的次数不超过$n-1$的多项式,将两边矩阵按照多项式次数拆分,记$C=(B+tE)^{*},D=(A+tE)^{*}$:

$$LHS=C_{n-1}t^{n-1}+C_{n-2}t^{n-2}+\cdots +C_1 t+C_0$$

$$RHS=D_{n-1}t^{n-1}+D_{n-2}t^{n-2}+\cdots +D_1 t+D_0$$

所以拆分后两边多项式常数项相等,即取$t=0$得到$B=P^{-1}AP$,即$A^{*}\sim B^{*}$

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