维数定理及其可推广性的探究

\begin{aligned}
|A\cup B|&=|A|+|B|-|A\cap B|\\
dim(V_1+V_2)&=dimV_1+dimV_2-dim(V_1\cap V_2)
\end{aligned}


 

维数定理

我们知道,对于两个有限集合,它们的元素个数满足容斥定理:
$$
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|
$$

我们想到,一个 $n$ 维线性空间 $V$ 可以用一个特殊的集合来表征,这个集合就是 $\{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\}$

由此可以合理猜想,对于两个有限维线性空间 $V_1$ 和 $V_2$,有如下关系成立:
$$
dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV_2-dim(V_1\cap V_2)
$$


 

证明

我们先来证明一个引理:

在有限维向量空间中,每个线性无关向量组都可以扩充为一个基。

证明:

设 $V=span(w_1,\cdots,w_n)$ ,​$(v_1,\cdots,v_m)$ 是 ​$V$ 中的一组线性无关向量组。

第 1 步

若 $w_1\in span(v_1,\cdots,v_m)$,则令 $B=(v_1,\cdots,v_m)$;

若 $w_1\notin span(v_1,\cdots,v_m)$,则令 $B=(v_1,\cdots,v_m,w_1)$;

第 j 步

若 $w_j\in span(B)$,则保持 $B$ 不变;否则通过添加 $w_j$ 来扩充 $B$.

经过每一步, $B$ 都保持线性无关性(因为每个向量均不包含于前面诸向量的张成)。经过 $n$ 步,$B$ 的张成就包含了所有的 $w$.

故 $B$ 张成 $V$,$B$ 是 $V$ 的一个基。

Q.E.D


下面我们借助引理证明维数定理。

设 $V_1\cap V_2=span(\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m)$

由引理,我们扩充到
$$
\begin{aligned}
V_1=&span(\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m,u_1,\cdots,u_j),\\
V_2=&span(\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m,w_1,\cdots,w_k)
\end{aligned}
$$
下面证明 $V_1+V_2$ 的一组基为 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m,u_1,\cdots,u_j,w_1,\cdots,w_k$,因为由此可得
$$
\begin{aligned}
dim(V_1+V_2)&=m+j+k\\
&=(m+j)+(m+k)-m\\
&=dimV_1+dimV_2-dim(V_1\cap V_2)
\end{aligned}
$$
显然 $span(\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m,u_1,\cdots,u_j,w_1,\cdots,w_k)$ 包含 $V_1$ 和 $V_2$,从而包含 $V_1+V_2$,所以我们只需证该向量组是线性无关的。为此,设
$$
a_1 \gamma_1+\cdots+a_m\gamma_m+b_1u_1+\cdots+b_ju_j+c_1w_1+\cdots+c_kw_k=0
$$
其中 $a,b,c$ 为标量。上式可以写成
$$
c_1w_1+\cdots+c_kw_k=-a_1 \gamma_1-\cdots-a_m\gamma_m-b_1u_1-\cdots-b_ju_j
$$
即 $c_1w_1+\cdots+c_kw_k\in V_1$. 因为 $w_i\in V_2$,故 $c_1w_1+\cdots+c_kw_k\in V_1\cap V_2$

又因为 $(\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m)$ 是 $V_1\cap V_2$ 的基,所以有标量 $d_1,\cdots,d_m$,使得
$$
c_1w_1+\cdots+c_kw_k=d_1\gamma_1+\cdots+d_m\gamma_m
$$
但我们知道,$(\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m,w_1,\cdots,w_k)$ 是线性无关的,故 $c=d=0$,最初的等式变为
$$
a_1 \gamma_1+\cdots+a_m\gamma_m+b_1u_1+\cdots+b_ju_j=0
$$
因为向量组 $(\gamma_1,\gamma_2,\cdots\gamma_m,u_1,\cdots,u_j)$ 是线性无关的,所以 $a=b=0$

综上,所有的 $a,b,c$ 都等于 $0$

Q.E.D

 


推广的可能性

如果类比容斥原理的式子能够成立,应该有

\begin{aligned}
dim(U_1+U_2+U_3)&=dimU_1+dimU_2+dimU_3\\
&-dim(U_1\cap U_2)-dim(U_1\cap U_3)\\
&-dim(U_2\cap U_3)\\
&+dim(U_1\cap U_2\cap U_3)
\end{aligned}

成立,事实是否如此呢?

我们很遗憾地发现,该等式并不成立,比如

\begin{aligned}
U_1&=\{(x,0):x\in R\},\\
U_2&=\{(0,y):y\in R\},\\
U_3&=\{(x,x):x\in R\}.
\end{aligned}

就是一个随手易得的反例。

问题出在哪儿呢?我们难道不可以仿照两个子空间时的证法,将 $U_1\cap U_2\cap U_3$ 的基逐步扩充,然后取得证明吗?

我们观察反例,很显然 $U_1\cap U_2=U_2\cap U_3=U_1\cap U_3=\{0\}$,但 $U_1\oplus U_2\oplus U_3$ 并不是三个空间的直和,问题就出在这。

$U_1,\cdots,U_n$ 两两相交于 $\{0\}$ 并不能保证它们的和是直和,只有 $n=2$ 时是特例,因此只有两个子空间的维数定理,三个及以上子空间的情况就变得更加复杂。

 


用维数定理解决问题

已知 $A,B为n阶方阵,AB=BA,求证r(A+B)\le r(A)+r(B)-r(AB)$

证明:


$$
\begin{aligned}
A=&(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\\
B=&(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n),\\
AB=&(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)
\end{aligned}
$$


$$
\begin{aligned}
V_A=&span(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\\
V_B=&span(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n),\\
V_{AB}=&span(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n),\\
V_{A+B}=&span(\alpha_1+\beta_1,\cdots,\alpha_n+\beta_n)
\end{aligned}
$$

并设 $V=span(\alpha_1,\cdots,\alpha_n,\beta_1,\cdots,\beta_n)$

由维数定理,我们有
$$
dim(V_A)+dim(V_B)=dim(V)+dim(V_A\cap V_B)\cdots \cdots(1)
$$

$$
r(A+B)=dim(V_{A+B})\le dim(V)\cdots \cdots(2)
$$
下面证明 $r(AB)\le dim(V_A\cap V_B)$

由 $AB=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)B,有V_{AB}\subset V_A$

同理 $AB=BA=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)A\Rightarrow V_{AB}\subset V_B$

故 $V_{AB}\subset V_A\cap V_B\\\Rightarrow r(AB)\le dim(V_A\cap V_B)\cdots \cdots(3)$

由(1)(2)(3),命题得证.

此条目发表在数学, 线性代数分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注