相对论中的 Lorentz 变换与四维矢量

人们发现,时间与空间原是分不开的,之前的动力学定律之所以形式繁杂,是因为这些定律描述的仅仅是一个更大结构——时空的几个分量而已。一旦把时间纳入体系,统一的形式便展现在人们眼前了。

Lorentz 变换的矩阵形式

考虑两个参考系 $K$ 和 $K^{\prime}$, $K^{\prime}$ 的原点相对 $K$ 原点速度为 $u$ (设运动方向为 $x$ 方向,以下忽略无关的 $y$ 和 $z$ 方向),则两参考系之间的变换规则为:
$$
{\begin{pmatrix}ct^{\prime}\\x^{\prime}\end{pmatrix}}=\gamma{\begin{pmatrix}1&-\beta\\-\beta&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}
$$
其中

$\beta={\dfrac{u}{c}},\quad \gamma={\dfrac {1}{{\sqrt{1-{\dfrac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}$,称为 Lorentz 因子。

可以证明,所有参考系转换以转换叠加作为乘法组成一个群,在群公理下,一般 Lorentz 变换的矩阵可写成:
$$
{\frac{1}{{\sqrt{1+\kappa u^{2}}}}}{\begin{pmatrix}1&\kappa u\\-u&1\end{pmatrix}}
$$
其中 $\gamma=\dfrac{1}{{\sqrt{1+\kappa u^{2}}}}​$ 为 Lorentz 因子, $c^2=\dfrac{1}{|\kappa|}​$为转换的不变速度。

1. 当 $\kappa>0$ 时,意味着 $c$ 是速度的下限,这与现实世界不符;

2. 当 $\kappa=0$ 时,即得伽利略变换矩阵:

$$
{\begin{pmatrix}t^{\prime}\\x^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-u&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\x\end{pmatrix}}
$$
3. 更一般的,在 $c=\dfrac{1}{\sqrt{-\kappa}}<\infty$ 的情况下就得到我们世界的 Lorentz 变换:

$$
{\begin{pmatrix}t^{\prime}\\x^{\prime}\end{pmatrix}}={\frac{1}{{\sqrt{1-{\frac{u^{2}}{c^{2}}}}}}}{\begin{pmatrix}1&-{\frac{u}{c^{2}}}\\-u&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\x\end{pmatrix}}
$$

到底世界是属于 $\kappa=0$ 还是 $\kappa<0$ 类型,最终只能靠实验验证。例如迈克耳孙-莫雷实验


四维矢量

在狭义相对论里,四维向量(four-vector)是闵可夫斯基空间里的矢量。在闵可夫斯基空间内的任意一点,都代表一个『事件』,可以用四维向量来表示,其分量分别为时间点和三维空间坐标,可写作:(以下用大写黑体字母代表四维向量)
$$
\mathbf{X}=(ct,\,\vec{r})=(x_0,\,x_1,\,x_2,\,x_3)
$$
其中,$x_0=ct​$ 为时间分量,$x_1,\,x_2,\,x_3​$ 为三个空间坐标。

根据 Lorentz 变换,我们有:
$$
x_1^{\prime}=\dfrac{(x_1-\beta x_0)}{\sqrt{1-\beta^2}}\\
x_0^{\prime}=\dfrac{(x_0-\beta x_1)}{\sqrt{1-\beta^2}}
$$
我们会惊喜地发现,$(x_0^{\prime})^2-(x_1^{\prime})^2=(x_0)^2-(x_1)^2​$

闵可夫斯基内积

在闵可夫斯基空间里,定义两个四维向量的内积:
$$
\mathbf{X\cdot Y}=x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3
$$

性质:

1. 不具有正定性,即 $\mathbf{X\cdot X}$ 可能小于零
2. 不变量:在任意参考系中,两个四维矢量的内积是不变量

根据内积的不变性,可以定义四维矢量的长度,也叫时空间距 (spacetime interval)
$$
s^2=x_0^2-\vec{r}\cdot \vec{r}
$$

对时间求导

在计算四维向量对时间的导数时,如能选择固有时为时间变量,则求得的四维矢量具有良好的性质。对于任意时刻,选择与物体运动状态相同的惯性参考系,在该参考系下测得的时间即为固有时。

在固有参考系中,空间位移恒为 0,因此两事件间距为时间分量之差:
$$
\Delta s=c\Delta \tau
$$
只考虑 $x$ 方向的运动,在另一参考系中,两事件间距
$$
\begin{aligned}
\Delta s^\prime&=\sqrt{(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2}\\
&=c\Delta t\sqrt{1-(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2\dfrac{1}{c^2}}
\end{aligned}
$$
由于时空间距在不同参考系下的不变性,我们有:
$$
\Delta s=\Delta s^\prime
$$

$$
\Delta t=\gamma\Delta \tau,或\,\dfrac{d\tau}{dt}=\dfrac{1}{\gamma}
$$

四维动量

对于一个在时空中运动的物体,我们仿效三维运动的动量定义:
$$
\mathbf{P}=m\dfrac{d\mathbf{X}}{d\tau}
$$
注意,这里时间变量应为运动物体的固有时,因为 $\Delta t$ 在不同参考系下不一定相同,不再具有三维运动中的特殊地位,仅是四维矢量的分量之一。

代入 $\mathbf{X}$ 各分量及 $\tau$ 与 $t$ 的转化关系,得到:(以下 $m$ 均代表固有质量)
$$
\mathbf{P}=(\dfrac{mc}{\sqrt{1-{u^2}/{c^2}}},\,\dfrac{m\vec{v}}{\sqrt{1-{u^2}/{c^2}}})
$$
也就是
$$
\mathbf{P}=(\dfrac{E}{c},\,\vec{p})
$$

也被称为能量-动量四矢量

推论

由四维矢量内积的不变性,对固有参考系和其他任一参考系,有
$$
\mathbf{(P)^2}=\mathbf{(P^\prime)^2}
$$
这里 $\mathbf{P}=(mc,\,0)$,$\mathbf{P^\prime}=(\dfrac{E}{c},\,\vec{p})$,这两个四维矢量并不相等,但它们的平方相等。

即可推出
$$
E^2=p^2c^2+m^2c^4
$$


其他的四维量

类似地,我们还可继续定义四维速度、四维加速度、四维力、四维频率……它们的长度也相应有各自的意义,此处不再赘述。

值得注意的是,由于四维速度保持恒长,故四维加速度一定与四维速度正交。至于这一事实的直观意义,就交给诸位去想象了。


 

如何用四维矢量解题

1. 一个动量为 $k​$ 的光子,打中一质量为 $m​$ 的静止物体并被其吸收,求物体新的质量 $m^\prime​$
2. 动能多大的 $\alpha$ 粒子 ($\sideset{{_2^4}}{}H$) 轰击 $\sideset{{_7^{14}}}{}N$,可实现下列反应:

$$
\sideset{{_7^{14}}}{}N+\sideset{{_2^4}}{}H\rightarrow\sideset{{_8^{17}}}{}O+\sideset{{_1^1}}{}H
$$

​ 已知 $\sideset{{_7^{14}}}{}N,\sideset{{_2^4}}{}H,\sideset{{_8^{17}}}{}H,\sideset{{_1^1}}{}H$ 的静止质量分别为
​ $m_1=13.99922u,\,m_2=4.00151u,\,m_3=16.99476u,\,m_4=1.00728u$

对第一题,首先我们来看一下传统解法:

设物体的反冲速度为 $v$ ,光子、之前物体、之后物体的能量-动量四矢量分别为 $\mathbf{K},\mathbf{P_1},\mathbf{P_2}$

则 $\mathbf{K} = (\dfrac{\omega}{c},\,k)$,其中 $\omega = kc$(通常用 $\omega$, $k$ 分别代表光子能量和动量)

$\mathbf{P_1}=(mc,\,0)$,$\mathbf{P_2}=(\dfrac{m^\prime c}{\sqrt{1-{v^2}/{c^2}}},\,\dfrac{m^\prime v}{\sqrt{1-{v^2}/{c^2}}})$


$$
\mathbf{K}+\mathbf{P_1}=\mathbf{P_2}
$$
上式同时表示了能量、动量守恒

根据两个分量,我们可以列出两个等式,含有两个未知数 $m^\prime$ 、$v$,理论上可以解了。

但是我们很快就会发现方程过于复杂,难以求解。

怎么办呢?

这里最好的解法,还是要考虑四维矢量的不变性:

由 $$\mathbf{K}+\mathbf{P_1}=\mathbf{P_2}$$

可有 $$(\mathbf{K}+\mathbf{P_1})^2=(\mathbf{P_2})^2$$

展开,$\mathbf{P_1}^2+\mathbf{K}^2+2\mathbf{P_1}\mathbf{K}={m^\prime}^2 c^2​$

继续,$m^2c^2+0+2(mkc)={m^\prime}^2 c^2​$

显然,这个方程中只有一个未知数,之前的 $v$ 根本不需出现

直接可解得 $m^\prime =\sqrt{m^2+\dfrac{2mk}{c}}$

第二题,当入射动能最小时,生成的氧原子和氢原子共速,据此列方程解答。

同样,如果用常规解法,需要解一个六元二次方程组,计算量可想而知。(反正笔者高中时花了一个上午都没有解出来(;_;)

我们还是使用四维矢量的性质,注意到
$$
\mathbf{P}_{in}=\mathbf{P}_{out}
$$
上面是在实验室参考系中得出的式子。让我们转换视角,在质心系中,碰撞后两原子均静止,因此有简单关系:
$$
\mathbf{P}^{\prime}_{out}=(m_3c+m_4c,\,0)
$$
根据性质,
$$
\mathbf{P}^2_{out}=\mathbf{P}^{\prime2}_{out}
$$
联立上述方程,得到的式子中仍然只有一个未知数,就是我们想要求的动能

轻松得到 $E_k=2.514\times 10^{-13}J$

比起传统方法,这种方式简便了可不止一点

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