哈代数论读书笔记(三)——Farey级数

1、The definition and property of Farey series(法里序列的定义与性质)

本章我们将考虑有关 vulgar fractions(真分数) 的性质

分数可以看成两个整数的相除关系,所以分数的性质大多体现了整数的性质

Farey 序列 $\mathfrak{F}_n$ 表示将 $[0,1]$ 之间的分母不超过 $n$ 的所有最简分数按数值升序排列得到的序列,例如:

$$\mathfrak{F}_5=\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}$$

根据定义,分数 $\frac{h}{k}\in \mathfrak{F}_n$ 的条件是

$$0\leq h\leq k\leq n,\quad (h,k)=1$$

Farey 序列最基本的性质如下:

Theorem 28
如果 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 是 $\mathfrak{F}_n$ 中相邻的两项,那么有
$$kh’-hk’=1$$

Theorem 29
如果 $\frac{h}{k},\frac{h”}{k”},\frac{h’}{k’}$ 是 $\mathfrak{F}_n$ 中相邻的三项,那么有
$$\frac{h”}{k”}=\frac{h+h’}{k+k’}$$

我们随后会证明这两个定理是等价的,并且给出它们的三个证明

在此之前,我们先来证明两个关于 $\mathfrak{F}_n$ 的更为简单的性质

Theorem 30
如果 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 是 $\mathfrak{F}_n$ 中相邻的两项,那么有
$$k+k’>n$$

我们发现

$$\frac{h}{k}<\frac{h+h’}{k+k’}<\frac{h’}{k’}$$

如果 $k+k’\leq n$,那么这两项之间存在另一个数,不可能相邻,证毕

Theorem 31
$\mathfrak{F}_n(n>1)$ 中没有两个相邻的数拥有相同的分母

假设 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k}(k>1)$ 是相邻的两项,那么 $h+1\leq h'<k$,故有

$$\frac{h}{k}<\frac{h}{k-1}<\frac{h+1}{k}\leq\frac{h’}{k}$$

那么 $\frac{h}{k-1}$ 在两项之间,与相邻矛盾,证毕


2、The equivalence between Theorem 28 and 29(两定理间的等价性)

我们现在来证明 Theorem 28Theorem 29 的等价性

(1)Theorem 28 $\Rightarrow$ Theorem 29

对于 $\mathfrak{F}_n$ 中相邻的三项 $\frac{h}{k},\frac{h”}{k”},\frac{h’}{k’}$,根据 *Theorem 28*,我们有

$$\left{\begin{matrix}kh”-hk”=1\ k”h’-h”k’=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left{\begin{matrix}h”=\frac{h+h’}{kh’-hk’}\ k”=\frac{k+k’}{kh’-hk’}\end{matrix}\right.$$

相除即得到 Theorem 29

(2)Theorem 29 $\Rightarrow$ Theorem 28

我们假设 Theorem 28 对于 $\mathfrak{F}{n-1}$ 成立,且有相邻的两项 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}\in\mathfrak{F}{n-1}$

那么 $\mathfrak{F}{n}$ 相当于在 $\mathfrak{F}{n-1}$ 中插入了

$$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{n-1}{n}$$

且由 Theorem 31,$\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 之间最多插入了一个数

如果没有插入数,那么不改变原有的性质,Theorem 28 照样成立

如果插入了数,不妨设这个数为 $\frac{h”}{k”}(k”=n)$,由 Theorem 29

$$\frac{h”}{k”}=\frac{h+h’}{k+k’}$$

不妨设

$$\left{\begin{matrix}h”=\lambda (h+h’)\ k”=\lambda (k+k’)\end{matrix}\right.(\lambda 为整数)$$

Theorem 30,$k’+k>n-1$,故

$$\lambda=\frac{k”}{k’+k}\leq\frac{n}{n}=1$$

所以 $\lambda=1$,即

$$\left{\begin{matrix}h”=h+h’\ k”=k+k’\end{matrix}\right.$$

因此

$$kh”-hk”=k(h+h’)-h(k+k’)=kh’-hk’=1$$

$$k”h’-h”k’=h'(k+k’)-k'(h+h’)=kh’-hk’=1$$

由数学归纳法即可得证


3、First proof of the Theorems

我们沿用上面的方法,使用数学归纳法来证明 Theorem 28

当 $n=1$ 时,即对 $\mathfrak{F}_1$ 定理显然成立

假设定理对 $\mathfrak{F}{n-1}$ 成立,假设 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 是 $\mathfrak{F}{n-1}$ 中相邻的两项

且 $\frac{h”}{k”}$ 是生成 $\mathfrak{F}_{n}$ 时插入这两项之间的分数,设

$$\left{\begin{matrix}r=kh”-hk”>0\ s=k”h’-h”k’>0\end{matrix}\right.$$

结合 $kh’-hk’=1$ 解出

$$\left{\begin{matrix}h”=sh+rh’\k”=sk+rk’\end{matrix}\right.$$

并且由于 $(h”,k”)=1$,所以 $(r,s)=1$

考虑由下列分数组成的集合 $S$:

$$\frac{H}{K}=\frac{\mu h+\lambda h’}{\mu k+\lambda k’}$$

这里 $\lambda,\mu$ 是正整数且 $(\lambda,\mu)=1$,显然 $\frac{h”}{k”}\in S$,且 $S$ 中的每一个分数都在 $(\frac{h}{k},\frac{h’}{k’})$ 之间

由于

$$\left{\begin{matrix}k(\mu h+\lambda h’)-h(\mu k+\lambda k’)=\lambda\h'(\mu k+\lambda k’)-k'(\mu h+\lambda h’)=\mu \end{matrix}\right.$$

根据 Theorem 25 可知

$$(H,K)|\lambda,\quad (H,K)|\mu$$

而 $(\lambda,\mu)=1$,故 $(H,K)=1$,即 $S$ 中的所有分数都是最简分数

原文中最简分数的英文表述(令我费解了好久):The fraction is in its lowest terms

因此 $\frac{H}{K}$ 首次出现是在 $\mathfrak{F}_{K}$ 中,故 $S$ 中的分数按出现顺序排序前三项为

$$\frac{h}{k},\frac{h’}{k’},\frac{h+h’}{k+k’}$$

所以在 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 之间的数必为 $\frac{h+h’}{k+k’}$,这样就证明了 Theorem 29,证毕


4、Second proof of the Theorems

下面我们介绍一种不是归纳性质的证明方法

通过该方法,我们可以能解决求 $\frac{h}{k}$ 在 $\mathfrak{F}_n$ 中的后继(后面一项)的方法

设 $\frac{h}{k}\in \mathfrak{F}_n$,由于 $(h,k)=1$,根据 *Theorem 25*,方程

$$kx-hy=1$$

有整数解,若 $x_0,y_0$ 是该方程的解,那么

$$x_0+rh,\quad y_0+rk(r\in Z)$$

也是该方程的解,我们可以钦定一个 $r$ 值使得

$$n-k<y_0+rk\leq n$$

因此方程存在一个解 $(x,y)$ 满足

$$(x,y)=1,\quad 0\leq n-k <y\leq n$$

由于 $\frac{x}{y}$ 是最简分数,且 $y\leq n$,因此 $\frac{x}{y}\in \mathfrak{F}_n$,且有

$$\frac{x}{y}=\frac{1+hy}{ky}=\frac{h}{k}+\frac{1}{ky}>\frac{h}{k}$$

所以 $\frac{x}{y}$ 在 $\mathfrak{F}_n$ 中的出现位置在 $\frac{h}{k}$ 之后

假设 $\frac{x}{y}$ 不是我们所求的后继 $\frac{h’}{k’}$,那么 $\frac{x}{y}$ 必在 $\frac{h’}{k’}$之后,故有

$$\frac{x}{y}-\frac{h’}{k’}=\frac{k’x-h’y}{k’y}\geq \frac{1}{k’y}$$

$$\frac{h’}{k’}-\frac{h}{k}=\frac{kh’-hk’}{kk’}\geq \frac{1}{kk’}$$

因此

$$\frac{1}{ky}=\frac{x}{y}-\frac{h}{k}\geq\frac{1}{k’y}+\frac{1}{kk’}=\frac{k+y}{kk’y}>\frac{n}{kk’y}\geq \frac{1}{ky}$$

这样就导出了一个矛盾式,所以假设不成立,即我们求出的 $\frac{x}{y}$ 就是 $\frac{h}{k}$ 在 $\mathfrak{F}_n$ 中的后继

(感觉我可以把这个出到 OI/ACM 中,又是一道毒瘤题)


5、The integral lattice(整数网格)

我们的第三种证明是基于一个重要的几何学方法

如下图所示:

假设我们在平面中给出了原点 $O$,以及不与 $O$ 三点共线的两点 $P,Q$

我们作平行四边形 $OPQR$,把它的边无限延长,然后作等距的平行线,这样整个平面被分割成了无穷多个相同的平行四边形

我们把这样的图形称为 lattice(网格)

一个网格是由若干条直线组成的图形,它确定了若干个点,即直线两两确定的交点

这些交点组成的系统称为 point-lattice(点阵),点阵中的点我们称为 lattice point(格点)

两个不同的网格可以确定同一个点阵,例如在上图中,网格 $OP,OQ$ 与网格 $OP,OR$ 确定的点阵是相同的

确定同一个点阵的两个网格我们称之为 equivalent(等价)

特别地,如果 $OP\perp OP$ 且 $OP=OQ=1$,即平面被分割成了单位正方形

那么这种网格称为 fundamental lattice(常用网格),记做 $L$

常用网格确定的点阵称为 fundamental point-lattice(常用点阵),记做 $\Lambda$

值得一提的是,网格上每一个点都可以看成原点,原点的选择与网格的性质是独立的

确定原点之后,我们可以写出点阵中每一个格点的坐标,它们都是整数

点阵可以看作数或向量的运算系统,这个系统满足模系统的要求

如果 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 是点阵中的点,那么点阵中其它的点 $(x,y)$ 可以表示为

$$\left{\begin{matrix}x=mx_1+nx_2\ y=my_1+ny_2\end{matrix}\right.(m,n\in Z)$$


6、Properties of the fundamental lattice(常用网格的性质)

(1)我们考虑变换

$$x’=ax+by,\quad y’=cx+dy$$

其中 $a,b,c,z\in Z且ad-bc\neq 0$,那么 $\Lambda$ 中的点 $(x,y)$ 变换为了 $\Lambda$ 的另一个点 $(x’,y’)$

我们解出 $x,y$ 得到

$$x=\frac{dx’-by’}{ad-bc},\quad y=-\frac{cx’-ay’}{ad-bc}$$

$$\Delta=\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}=ad-bc=\pm 1$$

那么所有 $\Lambda$ 中的点 $(x’,y’)$ 都能由 $(x,y)$ 变换得到

也就是说,变换前的点 $(x,y)$ 与变换后的点 $(x’,y’)$ 一一对应

我们把这样的情况称为 $\Lambda$ 的自身变换

反过来,如果 $\Lambda$ 的变换为自身变换,那么每一个 $(x’,y’)$ 必须有一个 $(x,y)$ 与之对应

取 $(x’,y’)$ 的两个特殊点 $(1,0),(0,1)$,得到

$$\Delta|a,\quad\Delta|b,\quad\Delta|c,\quad\Delta|d$$

故有

$$\Delta^2|ad-bc,\quad\Delta^2|\Delta$$

因此 $\Delta=\pm 1$,这样我们就得到了下述定理

Theorem 32
$\Lambda$ 的变换为自身变换的充要条件是
$$\Delta=ad-bc=\pm 1$$

我们把这样的变换称为 unimodular(单模变换)

(2)考虑 $\Lambda$ 中的不与原点共线的两点 $P(a,c),Q(b,d)$,那么 $OP,OQ$ 确定的平行四边形的面积为

$$\delta=|ad-bc|$$

考虑变换

$$x’=ax+by,\quad y’=cx+dy$$

变换后的网格就是由 $OP,OQ$ 生成的网格

变换后的 $\Lambda’$ 中的点为 $(x’,y’)$,那么 $\Lambda=\Lambda’$ 的条件就是 $\delta=1$

Theorem 33
由 $OP,OQ$ 生成的网格 $L’$ 与 常用网格 $L$ 等价的充要条件是 $OP,OQ$ 确定的平行四边形面积 $\delta=1$

(3)设 $P\in \Lambda$,若 $OP$ 间不存在其它的 $\Lambda$ 中的点,那么称 $P$ 为 visible(可视的)

显然如果 $(x,y)$ 是可视的点,那么 $\frac{x}{y}$ 必定是最简分数,即 $(x,y)=1$

Theorem 34
设 $P,Q$ 是 $\Lambda$ 中的两个可视的点,$OP,OQ$ 确定的平行四边形 $J$ 的面积为 $\delta$
(1)若 $\delta=1$,则 $J$ 内部不存在 $\Lambda$ 中的点
(2)若 $\delta>1$,则 $J$ 内部至少有一个 $\Lambda$ 中的点,如果该点不是对角线的交点,则至少存在两个

这几种情况如下图所示:

设 $OP,OQ$ 生成的网格为 $L’$,对应的点阵为 $\Lambda’$

若 $\delta=1$,$L’$ 与 $L$ 等价,$\Lambda=\Lambda’$,故 $J$ 内部不存在点

若 $\delta>1$,$L’$ 与 $L$ 不等价,$\Lambda’$ 中的点少于 $\Lambda$,故 $J$ 内部至少存在一点,若该点不是对角线交点,则三角形 $OPQ$ 与 $PQR$ 内部各有一点


7、Third proof of the Theorems

设分数 $\frac{h}{k}\in \mathfrak{F}_n$,那么

$$0\leq k\leq h\leq n,\quad (h,k)=1$$

那么 $\frac{h}{k}$ 表示 $\Lambda$ 中区域 $\left{\begin{matrix}y\geq 0\ x\leq y\x\leq n\end{matrix}\right.$ 中的可视点

我们从原点 $O$ 作一条射线,将其从 $x$ 轴开始逆时针旋转

射线的斜率就是射线上的点表示的分数的值,逆时针旋转保证了射线斜率递增

故射线扫过的点表示的分数值是递增的

当射线先后扫过两个可视点 $(k,h),(k’,h’)$ 时,这两个分数在 $\mathfrak{F}_n$ 中是相邻的

且确定的平行四边形内部没有可视点,故由 Theorem 34

$$\delta=kh’-hk’=1$$

证毕,这种证明方法将 $\mathfrak{F}_n$ 用几何图形直观地表示了出来,更显本质


8、The Farey dissection of the continuum(邻项的法里分割)

我们常用圆环来表示实数,而不是直线,目的是消除首位关系的影响

在圆环上确定一个原点 $O$ 表示 $0$,用点 $P_x$ 表示实数 $x$,点到原点的距离表示数的大小

现在我们考虑法里序列 $\mathfrak{F}_n$,以及所有邻项 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 的 *mediant(中间值)*

$$\mu=\frac{h+h’}{k+k’}$$

第一个中间值和最后一个中间值分别为

$$\frac{0+1}{1+n}=\frac{1}{n+1},\quad \frac{n-1+1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

我们现在用点 $P_{\mu}$ 表示中间值 $\mu$,那么圆环被这些点分割成了若干条弧

这些弧我们称为 Farey arcs(法里弧)

每一段法里弧表示 $\mathfrak{F}_n$ 的一项,该项在弧上的位置称为 *Farey point(法里点)*

显然,弧 $(\frac{n}{n+1},\frac{1}{n+1})$ 包含了法里点 $O$

这个分割法里弧的过程我们就称为 Farey dissection(法里分割)

现在我们假设 $n>1$,$P_{\frac{h}{k}}$ 是一个法里点,且 $\frac{h_1}{k_1},\frac{h_2}{k_2}$ 分别是其在 $\mathfrak{F}_n$ 中的前一项与后一项

那么包含 $P_{\frac{h}{k}}$ 的法里弧被 $P_{\frac{h}{k}}$ 分成了两部分,长度分别为

$$\left{\begin{matrix}D_1=\frac{h}{k}-\frac{h+h_1}{k+k_1}=\frac{1}{k(k+k_1)}\ D_2=\frac{h+h_2}{k+k_2}-\frac{h}{k}=\frac{1}{k(k+k_2)}\end{matrix}\right.$$

Theorem 31Theorem 30 可知

$$n<k+k_1<2n$$

因此我们得到了下述定理

Theorem 35
对于 $\mathfrak{F}_n(n>1)$ 的法里分割,包含 $\frac{h}{k}$ 的法里弧被该法里点分成的两部分长度在 $\frac{1}{k(2n-1)}$ 与 $\frac{1}{k(n+1)}$ 之间

事实上,法里分割的重要性在于其拥有某种 uniformity(统一性)

接下来,我们用法里分割来证明一个实数有理估值方面的定理,而且我们在第十一章会继续深入探讨这个话题

Theorem 36
若 $\xi$ 是任一实数,$n$ 是正整数,那么存在一个最简分数 $\frac{h}{k}$ 满足
$$0<k\leq n,\quad |\xi-\frac{h}{k}|\leq \frac{1}{k(n+1)}$$

不妨设 $\xi\in (0,1)$,那么 $\xi$ 位于 $\mathfrak{F}_n$ 中的两项 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 之间

即 $\xi$ 位于下面两区间之一:

$$(\frac{h}{k},\frac{h+h’}{k+k’}),\quad (\frac{h+h’}{k+k’},\frac{h’}{k’})$$

这两个区间都是一段法里弧被法里点分成的两部分中的一个

因此根据 Theorem 35,其区间长度都小于 $\frac{1}{k(n+1)}$,所以分数 $\frac{h}{k},\frac{h’}{k’}$ 中必有一个满足要求


9、A theorem of Minkowski(闵可夫斯基定理)

如果 $P,Q\in \Lambda$,$P’,Q’$ 是$P,Q$ 关于原点的对称点

那么 $OP,OP’$ 与 $OQ,OQ’$ 两两生成了四个平行四边形,我们把这四个平行四边形合在一起组成了一个大平行四边形 $K$,其中心是原点 $O$,面积是 $4\delta$

若 $\delta=1$,那么 $K$ 内部除了 $O$ 以外没有其它 $\Lambda$ 中的点

若 $\delta>1$,那么 $K$ 内部除了 $O$ 以外存在其它 $\Lambda$ 中的点

这是闵可夫斯基定理的一个特殊情况,事实上,上述内容不仅对于平行四边形成立,对于任何关于原点对称的 convex region(凸区域) 都成立

想必诸位读者看到凸区域这个名词会一脸懵逼,我们先来介绍一点基础知识

满足下列条件的点集 $R$ 称为 open region(开区域)

(1)若 $P\in R$,那么与 $P$ 充分近的点都在 $R$ 内

(2)$R$ 中的任意两点都能被一条完全在 $R$ 内的连续曲线连接起来

从定义可以看出,圆的内部区域以及平行四边形的内部区域都是开区域

$R$ 的 boundary(边界) $C$ 指的是 $R$ 中的极限点组成的点集,但是这些点本身不属于 $R$

因此,圆的边界就是圆周

开区域 $R$ 加上它的边界组成的点集就是 closed region(闭区域),记做 $R^{*}$

注意:以上的定义中我们仅考虑有界区域

convex region(凸区域) 的定义有两种,它们是等价的

(1)如果 $R$ 中的所有弦(连接 $R$ 内两点的线段)上的任意一点都属于 $R$,那么 $R$ 就是凸区域

(2)如果 $R$ 边界上的所有点都能引一条直线 $l$ 使得 $R$ 仅位于直线 $l$ 的一侧,那么 $R$ 就是凸区域

由定义可知,圆和平行四边形都是凸区域

证明两种定义的等价性并不困难

(1)若 $R$ 是由第二种定义确定的凸区域

假设 $P,Q\in R$,且直线 $P,Q$ 上一点 $S\notin R$,那么边界上存在一点 $T$ 在线段 $PS$ 上

由于过 $T$ 存在直线 $l$ 使得 $R$ 仅位于直线一侧,但是 $l$ 必然与线段 $PQ$ 相交

$P,Q$ 两点及与距它们充分近的点不可能被划分到同一侧,这就矛盾了

(2)若 $R$ 是由第一种定义确定的凸区域

假设 $P$ 是边界上任意一点,且 $R$ 中所有弦的集合记为 $L$

那么以 $P$ 为顶点,存在一个尽量小的角 $\angle{APB}$ 使得 $L$ 中的所有线段都在 $\angle{APB}$ 内部

若 $\angle{APB}>\pi$,则边界上存在两点 $D,E$ 使得 $P$ 位于线段 $DE$ 上,这与 $P$ 在边界上矛盾

若 $\angle{APB}=\pi$,那么 $APB$ 共线,该直线满足条件

若 $\angle{APB}<\pi$,那么任何过点 $P$ 且不经过 $\angle{APB}$ 内部的直线满足条件

这样我们就证明了两个定义是等价的

而且现已证明,变换或放缩不改变区域的凸性

Theorem 37(闵可夫斯基定理)
任何面积大于 $4$ 且关于原点对称的凸区域 $R$,其内部除了 $O$ 还有其他 $\Lambda$ 中的点


10、Proof of Minkowski’s theorem

首先我们先来证明一个更为简单的定理

Theorem 38
设 $R_O$ 是包含原点 $O$ 的一个开区域,$P$ 是 $\Lambda$ 中的任意点,$R_P$ 表示将 $R_O$ 沿线段 $OP$ 平移至 $P$ 点的区域,如果所有的 $R_P$ 及 $R_O$ 两两没有重叠区域,那么 $R_O$ 的面积 $\Delta\leq 1$

如果 $R_O$ 是一个以 $x=\pm\frac{1}{2},y=\pm\frac{1}{2}$ 为边界的方形区域,那么该定理显然成立

更一般的,设 $R_O$ 的面积为 $\Delta$,$A$ 表示 $R_O$ 边界上的点到 $O$ 的最大距离

我们考虑 $\Lambda$ 中所有横纵坐标绝对值不超过 $n$ 的点 $P$,以及对应的 $(2n+1)^2$ 个 $R_P$

我们发现这些区域不会超出以 $O$ 为中心边长为 $2(n+A)$ 的正方形区域,因此

$$(2n+1)^2\Delta\leq (2n+2A)^2$$

得到

$$\Delta\leq (1+\frac{A-\frac{1}{2}}{n+\frac{1}{2}})^2$$

令 $n\rightarrow\infty$,即 $\Delta\leq 1$,证毕

值得一提的是,Theorem 38 对区域的凸性与对称性没有要求

接下来是时候证明闵可夫斯基定理了,基于凸性的两种定义,他本人给出了两种证明

(1)采用第一定义,设 $R_O$ 是 $R$ 关于 $O$ 点的 $\frac{1}{2}$ 倍线性放缩,那么 $R_O$ 的面积大于 $1$,根据 Theorem 38,存在 $R_P$ 与 $R_O$ 有重叠部分,如图所示:

设 $Q$ 是重叠区域中的一点,作 $Q’$ 使得 $OQ’$ 平行且等于 $PQ$

由于 $R_O$ 与 $P_P$ 全等,所以 $Q’\in R_O$

作 $Q’$ 关于 $O$ 的对称点 $Q”$,由区域的对称性,$Q”\in R_O$

由凸性第一定义,$QQ”$ 的中点必在 $R_O$ 中

而这个中点同时也是 $OP$ 的中点,那么还原放缩后得到 $P\in R$,证毕

(2)采用第二定义,假设 $R$ 中除了 $O$ 外没有其它格点,我们把 $R$ 关于 $O$ 点线性放缩,直至一格点 $P$ 出现在边界上,放缩后的区域记作 $R’$,如图所示:

由凸性第二定义,过点 $P$ 存在一条直线 $l’$ 使得 $R’$ 仅位于 $l’$ 一侧

将 $R’$ 关于 $O$ 点作 $\frac{1}{2}$ 倍线性放缩得到 $R_O$,那么过 $OP$ 中点存在一条直线 $l//l’$ 把 $R_O,R_P$ 置于 $l$ 两侧,因此 $R_O,R_P$ 没有重叠部分

而 $R_O$ 的面积大于 $1$,这与 Theorem 38 矛盾,证毕

除了闵可夫斯基本人给出的证明,还有其它的有趣的可供选择的证明,其中最为简单的一个应该是 Mordell(莫德尔) 给出的证明

(3)设 $R$ 是关于 $O$ 对称的凸区域,$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\in R$,设 $P_2$ 关于 $O$ 的对称点为 $P_2′(-x_2,-y_2)$,那么 $P_1P_2’$ 中点 $M(\frac{1}{2}(x_1-x_2),\frac{1}{2}(y_1-y_2))$,且 $M\in R$

我们假设有无限多条直线 $x=\frac{2p}{t},y=\frac{2q}{t}$,其中 $p,q$ 是任意整数,$t$ 是可以变化的参数

这些直线把平面分成了无限多个正方形,每个正方形面积为 $\frac{4}{t^2}$,顶点坐标为 $(\frac{2p}{t},\frac{2q}{t})$

设 $N(t)$ 表示位于区域 $R$ 内的顶点个数,$A$ 表示区域 $R$ 的面积,那么显然有

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{4N(t)}{t^2}=A$$

若 $A>4$,那么对于足够大的 $t$,有 $N(t)>t^2$,由于数对 $(x,y)$ 除以 $t$ 的余数数对 $(x\%t,y\%t)$ 最多有 $t^2$ 对,根据鸽巢原理,$R$ 中存在两点 $P_1(\frac{2p_1}{t},\frac{2q_1}{t}),P_2(\frac{2p_2}{t},\frac{2q_2}{t})$ 使得

$$t|(p_1-p_2),\quad t|(q_1-q_2)$$

因此 $P_1,P_2$ 对应的点 $M(\frac{p_1-p_2}{t},\frac{q_1-q_2}{t})\in\Lambda$,证毕

值得一提的是,该证明属于构造性证明,不依赖于 Theorem 38,因此更为精妙


11、Development of Theorem 37(闵可夫斯基定理的推广)

我们把 Theorem 37 推广到任意网格上,得到的结果将会在第二十四章用到

之前我们研究的都是常用网格 $L$ 及常用点阵 $\Lambda$ 的性质,接下来我们把这些性质推广到一般的网格 $L’$ 及对应点阵 $\Lambda’$,假设 $L’$ 由 $OP,OQ$ 生成,我们把其确定的平行四边形 $OPRQ$ 称为 fundamental parallelogram(基平行四边形),那么推广如下:

(1)我们以 $OP,OQ$ 为轴建立笛卡尔斜坐标系,且 $P(1,0),Q(0,1)$,那么对应的基平行四边形面积记作

$$\delta=|OP||OQ|\sin\omega$$

其中 $\omega$ 是 $OP,OQ$ 的夹角,那么用和之前同样的方法可以证明:

Theorem 39
$\Lambda’$ 的变换为自身变换的充要条件为 $\Delta=\pm 1$

Theorem 40
设 $\Lambda’$ 中的两点 $P,Q$,那么 $OP,OQ$ 生成的网格 $L”$ 与 $L’$ 等价的充要条件是 $O,P,Q$ 确定的平行四边形的面积等于 $\Lambda’$ 中基平行四边形的面积

(2)变换

$$x^{\prime}=ax+by, \quad y^{\prime}=cx+dy$$

(其中$a,b,c,d$是任意实数)将常用网格 $L$ 变换为了由 $O,(a,c),(b,d)$ 三点生成的网格

我们考察该变换的性质,设变换前的一个三角形 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)$,其面积为

$$\pm \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll}{x_{1}} & {y_{1}} & {1} \ {x_{2}} & {y_{2}} & {1} \ {x_{3}} & {y_{3}} & {1}\end{array}\right|$$

变换之后其面积为

$$\pm \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll}{a x_{1}+b y_{1}} & {c x_{1}+d y_{1}} & {1} \ {a x_{2}+b y_{2}} & {c x_{2}+d y_{2}} & {1} \ {a x_{3}+b y_{3}} & {c x_{3}+d y_{3}} & {1}\end{array}\right|=\pm \frac{1}{2}(a d-b c) \left| \begin{array}{ccc}{x_{1}} & {y_{1}} & {1} \ {x_{2}} & {y_{2}} & {1} \ {x_{3}} & {y_{3}} & {1}\end{array}\right|$$

我们发现变换后面积乘上了一个常数因子 $|ad-bc|$,事实上不仅是三角形区域,任意形状的一个区域面积变化都是如此(用微积分的思想很容易证明)

因此,我们可以推广常用网格在线性变换中的性质,Theorem 38 的推广如下

Theorem 41
设 $\Lambda’$ 是以 $O$ 为原点的任意点阵,$R_O$ 满足 Theorem 38 中的条件,那么 $R_O$ 的面积 $\Delta$ 不超过基平行四边形的面积 $\delta$

我们从头开始再次详细地证明这个定理,假设直线

$$x=\pm n,\quad y=\pm n$$

注意,由于我们建立的是斜坐标系,因此这四条直线确定了一个大平行四边形,其面积为 $4n^2\delta$,内部及边界上含有 $(2n+1)^2$ 个格点

同样设 $(x,y)$ 是 $R_O$ 边界上一点,定义

$$A=\max(|x|,|y|)$$

注意这里 $A$ 的定义与 Theorem 38 中的定义有异曲同工之妙

我们考虑这些格点对应的区域 $R_P$,它们全部位于由直线

$$x=\pm (n+A),\quad y=\pm (n+A)$$

确定的平行四边形内部,这个平行四边形面积为 $4(n+A)^2\delta$

故我们有不等式

$$(2 n+1)^{2} \Delta \leqslant 4(n+A)^{2} \delta,\quad \Delta\leq \frac{2n+2A}{2n+1}\delta$$

令 $n \rightarrow \infty$ 得到

$$\Delta \leqslant \delta$$

接下来我们需要考虑边界情况 $\Delta = \delta$,假设 $R_O$ 是平行四边形区域,由此得到的结论可满足第二十四章的要求

我们定义 $L’$ 中的两个点 $(x,y),(x’,y’)$ 等价(不一定是格点)当且仅当这两个点在对应的平行四边形中有相同的位置

具体一点,设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,由 $OP,OQ$ 生成的网格 $L’$ 中两点 $(x,y),(x’,y’)$ 等价的条件是($r,s\in Z$)

$$x^{\prime}-x=r x_{1}+s x_{2}, \quad y^{\prime}-y=r y_{1}+s y_{2}$$

很容易发现,所有的格点都等价,据此,我们有

Theorem 42
如果 $R_O$ 是平行四边形,且面积 $\Delta=\delta$,且 $R_O$ 内部不存在两个等价点,那么对于平面上任意一点, $R_O$ 及其边界上必定存在一点与之等价

$R_O$ 内部不存在等价点的条件意味着不存在两个 $R_P$ 相交

我们把闭区域记为 $R_P^{}$,那么结论意味着所有的 $R_P^{}$ 覆盖了整个平面

因此我们要证明的东西就是:

如果 $\Delta=\delta$ 且所有的 $R_P$ 都不相交,那么所有的 $R_P^{*}$ 覆盖了整个平面

假设定理不成立,即存在一个 $Q$ 不在任何一个 $R_P^{}$ 内,那么对于 $Q$ 所在的平行四边形中存在区域 $D$ 不属于任何 $R_P^{}$,设其面积为 $\eta$

在 $L’$ 中所有的平行四边形中,都有一个与 $D$ 全等的区域

因此所有 $R_P^{*}$ 的面积不超过

$$4(\delta-\eta)(n+A+1)^{2}$$

$$(2 n+1)^{2} \delta \leqslant 4(\delta-\eta)(n+A+1)^{2}$$

令 $n \rightarrow \infty$ 得到:

$$\delta \leqslant \delta-\eta$$

这显然是一个矛盾式,证毕

最后,值得一提的是所有的这些定理都可以推广到更高维的空间,我们第二十四章会谈到

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