量纲分析入门

本文是《A Student’s Guide to Dimensional Analysis》的读书笔记

1.1 Dimensional Homogeneity

在一个描述物理状态或过程的方程中,每一个加减项都应具有相同的量纲。

Symmetry under Change of Units:各个量的单位发生变化,方程的形式不变。


1.2 Dimensionless Products

一个量纲一致的方程可化为无量纲乘积之间的关系
$$
\frac{E}{V}=\frac{8\pi^5}{15}\frac{k_B^4T^4}{c^3h^3} \Rightarrow \frac{Ec^3h^3}{Vk_B^4T^4}=C
$$

1.3 Dimensional Formulae

[x] 代表 物理量 x 的量纲

如 $[g]=LT^{-1}$


1.4 The Rayleigh Algorithm

例子:内圆锥面与小球

想象一个质量为 $m$ 的小球在半径为 $R$ 、顶角为 $\theta$ 的圆锥内表面滚动,我们想要知道小球滚动一周的时间 $\Delta t$ 与 $m,R,\theta$ 之间的关系(忽略摩擦力),同时,重力加速度 $g$ 也可能有关。

Rayleigh方法要解决的问题就是找到几个物理量的无量纲组合形式。在本例中,我们知道该组合一定是 $\Delta t^\alpha m^\beta R^\gamma g^\delta \theta^\epsilon$ 的形式,当然我们知道角度是无量纲的,所以可简化为 $\Delta t^\alpha m^\beta R^\gamma g^\delta$.

接下来,我们代入各个量的量纲进行运算:
$$
\begin{aligned}\\
[\Delta t^\alpha m^\beta R^\gamma g^\delta]
&=[\Delta t^\alpha][m^\beta][R^\gamma][g^\delta]\\
&=[\Delta t]^\alpha[m]^\beta[R]^\gamma[g]^\delta\\
&=T^\alpha M^\beta L^\gamma(LT^{-2})^\delta\\
&=T^{\alpha-2\delta} M^\beta L^{\gamma+\delta}
\end{aligned}
$$

由于该乘积是无量纲的,据此得出三个方程:
$$
T: \alpha-2\delta=0\quad M: \beta=0 \quad L: \gamma+\delta=0
$$
解此方程组,我们可以确定 $(\Delta tg^{1/2}/R^{1/2})^\alpha$ 是这几个量的无量纲组合形式。由于底数部分是无量纲的,因此自由变量 $\alpha$ 的取值并无影响,可直接令 $\alpha=1$.

知道这个结果后,我们就能肯定地说,这几个量之间剩下的关系由某个函数确定,即:
$$
\Delta t=\sqrt{\frac{R}{g}}\cdot f(\theta)
$$
这里 $f(\theta)$ 是一个无量纲的函数。

量纲分析法最多就能把我们带到这里了。剩下的部分,由动力学分析可以进一步确定 $f(\theta)=2\pi\sqrt{tan\theta}$.


1.5 The Buckingham π Theorem

π定理可以分成相对独立的两部分叙述:

定理第一部分:如果一个方程量纲一致(dimensionally homogeneous),则它可化为一组无量纲乘积之间的关系,这组无量纲乘积是独立且完备的。

一组无量纲乘积是完备的,当且仅当所有无量纲组合都能用这组乘积表达;一组无量纲乘积是独立的,当且仅当其中任何一个元素都不能经由其他成员通过乘法、乘方的组合进行表达。符号 π 代表这组无量纲乘积的元素。例如,在上面一个圆锥与小球的例子中,$\pi_1=\Delta tg^{1/2}/R^{1/2},\quad\pi_2=\theta$.

定理第二部分:$N_P=N_V-N_D$

$N_P$:完备且独立的无量纲乘积的个数;

$N_V$:描述该物理状态的变量和常数的个数;

$N_D$:参与运算的基本量纲的最少个数;

定理解释

大部分动力学的量纲分析中,基本量纲不会超出 M,L,T 这三个范围,在圆锥与小球的例子中也是如此,所以这里 $N_D=3$;又因为 Δt, m, R, g, 和 θ 完全描述了小球的运动,因此 $N_V=5$.

由π定理,$N_p=2$,即我们需要找到两个完备、独立的无量纲乘积。由Rayleigh方法,我们知道它们分别是 $\Delta tg^{1/2}/R^{1/2}$ 和 $\theta$. 这个集合是完备的,因为由Δt, m, R, g, θ 组成的所有无量纲形式都能表示为 $\Delta t^2g/R$ 和 $\theta$ 的组合;这个集合是独立的,因为 $\Delta t^2g/R$ 和 $\theta$ 不能互相表示。


1.7 $N_P$ 对量纲模型精度的影响

注意,在建立量纲模型的过程中,我们产生的无量纲乘积($\pi_1,\pi_2,\cdots,\pi_{N_P}$)个数越多,这个模型能够反映的量之间的关系就越不明确。例如,当仅仅一个 $\pi_1$ 时,表达式形如 $f(\pi_1)=0$,其解为 $\pi_1=C$,含有一个未定的常数;当有两个 $\pi_1,\pi_2$ 时,表达式形如 $g(\pi_1,\pi_2)=0$,解为 $\pi_1=h(\pi_2)$,含有一个一元未定函数;无量纲乘积增至3个时,我们面对的是 $j(\pi_1,\pi_2,\pi_3)=0$,解为 $\pi_1=k(\pi_2,\pi_3)$,含有一个二元未定函数

因此,为尽可能地精确描述对象物理状态或过程,我们要尽量减小$N_P$,可以通过减小$N_V$ 或增大$N_D$ (如果可能)来实现。但这需要一定的观察能力和判断技巧。


1.8 例子:理想气体压强公式

理想气体的压强 $p$ 可由3个量刻画:气体数密度 $N/V$,摩尔质量 $m$,气体分子特征速度 $\bar v$. 这3个量足以描述理想气体的压强,因为我们能据此确定气体粒子的平均动量、平均动能,以及撞击器壁的频率。引入其他变量或常数,如重力加速度 $g$,会增加不必要的无量纲乘积数,使我们的模型反映的信息量变少。

物理量 描述 量纲
p 压强 $ML^{-1}T^{-2}$
N/V 分子数密度 $L^{-3}$
m 摩尔质量 $M$
$\bar{v}$ 特征速度 $LT^{-1}$

由此,$N_V=4,N_D=3$,所以$N_P=1$,需要研究一个无量纲乘积。

采用Rayleigh方法,我们能写出该无量纲乘积:$p(N/V)^\alpha m^\beta \bar{v}^\gamma$(为方便,可直接令我们想要的变量指数为1),列出量纲方程:
$$
\begin{aligned}\\
[p(N/V)^\alpha m^\beta \bar{v}^\gamma]
&=(ML^{-1}T^{-2})(L^{-3})^\alpha M^\beta (LT^{-1})^\gamma\\
&=M^{1+\beta} L^{-1-3\alpha+\gamma} T^{-2-\gamma}
\end{aligned}
$$
令各个指数为0,解得 $\alpha=-1,\beta=-1,\gamma=-2$,因此,我们得到理想气体压强公式:
$$
pV=C\cdot Nm \bar{v}^2
$$
此处 $C$ 为未定常数。

这里,我们是把 $N/V$ 当成一个变量,整体参与的运算。如果我们把 $V$ 单独拿进来考虑(多了一个变量),那么就需要处理两个无量纲乘积,即 $pV/(m\bar{v}^2)$ 和 $N$,最终结果为 $pV=f(N)\cdot m\bar{v}^2$,显然相比上一个模型要差。


1.9 一个经常出现的错误

作为我们研究对象的物体是否为刚体?流体是否为薄层?热体散发热辐射还是仅仅通过热传导?不同的情况下,我们需要考虑的变量个数不一定相同。同时受限于我们对物理过程的认知,初学者很容易出现一个错误:未将考虑变量数最少化,而这会带来模型精度的降低。

例如,我们要研究弹簧振子的角频率 $\omega$ 与系统各变量的关系,如果我们选取如下变量组:

物理量 描述 量纲
$\omega$ 角频率 $T^{-1}$
m 物块质量 $M$
k 劲度系数 $MT^{-2}$
$\rho$ 物块密度 $ML^{-3}$
V 物块体积 $L^3$
g 重力加速度 $LT^{-2}$

此时,$N_V=6,N_D=3$,我们解得最终结果为
$$
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot f(\frac{\rho V}{m},\frac{m^{4/3}g}{k \rho^{1/3}})
$$
含有一个未定的二元函数。而如果我们注意到 $m=\rho V$,便能将结果改进到
$$
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot f(1,\frac{m^{4/3}g}{k \rho^{1/3}})
$$
此时含有一个未定的一元函数,但这并不是最好的答案。注意到重力只会影响平衡点,而与周期运动的角频率无关,因此可以进一步剔除重力加速度g,得到
$$
\omega=C\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}
$$


练习

1.1 写出下式中的无量纲乘积

The radiant energy per volume per differential frequency interval in a cavity surrounded by walls at temperature T is ρ where
$$
\rho = \frac{8\pi v^2}{c^3}\frac{h\upsilon}{e^{h\upsilon/k_BT}-1}
$$
Plank常量 $[h]=ML^2T^{-1}$,Boltzmann常量 $[k_B]=ML^2T^{-2}\Theta^{-1}$,温度 $[T]=\Theta$

1.2 溜冰爱好者

两个溜冰者沿两条平行线接近,平行线相距 $r$,在两人距离最近时,互相拉住对方的手,开始围绕共同质心转动。两人质量都是 $m$,请使用Rayleigh方法得出转动频率 $f$ 与系统其他变量的关系。

1.5 振动的线

长为 $l$、线密度为 $\lambda$ 的细线,两端用大小为 $\tau$ 的力拉紧。在中点拨动细线,试用Rayleigh方法确定细线振动周期 $\Delta t$ 与系统其他变量的关系。

1.6 地球隧道

假设你挖了一个贯通地球的隧道,然后从其中一端扔下一个物体,那么它要多久到达另一端?确定该时间 $\Delta t$ 与系统其他变量的关系。参考变量如下:

物理量 描述 量纲
$\Delta t$ 穿过所需时间 $T$
G 重力常数 $M^{-1}L^3T^{-2}$
$\rho$ 地球密度 $ML^{-3}$
R 地球半径 $L$
m 物体质量 $M$

(a) 使用给定的这5个变量和常数,可知 $N_P=N_V-N_D=2$,找出这两个无量纲乘积。

(b) 通过简单的动力学分析,我们可以剔除物体质量这一变量。使用Rayleigh方法确定唯一的无量纲乘积,导出 $\Delta t$ 的表达式。


答案

1.1 $\pi_1=\rho c^3/h \upsilon^3\text{ and }\pi_2=h\upsilon/k_BT$
1.2 $f=C\cdot v/r$
1.5 $\Delta t = C\cdot l \sqrt{\lambda/\tau}$
1.6
(a) $\pi_1 = G\rho \Delta t^2 \text{ and } \pi_2 = \rho R^3/m$
(b) $\pi = \rho G \Delta t^2 \text{ and } \Delta t = C/\sqrt{\rho G}$

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